Variación de parámetros (Ecuaciones diferenciales)

Partiendo de una ecuación diferencial no homogénea, donde son constantes los términos que multiplican las «Y» del lado izquierdo.  Y que G(x) no pertenece a las familias que pueden ser eliminadas por el método del anulador.

Los pasos a seguir son los siguientes, primero obtienes el Yh igualando el termino de la izquierda a cero, y sustituyendo por m (emes) para obtener un polinomio (que preferentemente resolverás en la calculadora). Y según las raíces obtenidas; reales diferentes, reales iguales o complejas según sea caso. Escribes Yh (en este ejemplo la Yh representa raíces reales diferentes).

Yh

El siguiente paso es: Identificar la Y1 y Y2 que serán lo que multiplique a las constantes respectivamente. Si tienes una Yh con raíces complejas, deberás multiplicar la exponencial a cada función trigonométrica para poder quitar el paréntesis.

De la Y1 y Y2 (hasta la Yn) se formara la solución particular, mediante la siguiente ecuación (formula). Donde la U1 y U2 (hasta la Un) se formara a partir de las integrales de mas abajo.

Yp

Dichas integrales se forman a partir de la W, W1, W2 (hasta Wn).

Us

Las W se forman de solucionar las matrices cuadradas (nxn) siguientes, donde las W# se forman sustituyendo la columna respectiva por ceros, siendo el ultimo termino el G(x) de la ecuación original.

matriLo dificultad en este método redice en la integral resultante, pues podría requerir de métodos de solución complejos.

Sigamos el siguiente ejemplo:

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